Д.т.н. Василенко Ю.А., к.т.н. Мишустин В.А., Мишустин Н.В.

Закарпатский государственный университет

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ САПР СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрены центральные аспекты создания САПР объектов СВД (системы воспроизведения движения)–инвариантные методы моделирования данного класса систем, иерархия математических моделей проектирования (на примере трёхкоординатного робота–штабелёра), анализ и обоснование методов оптимизации, подходы к принятию решений в САПР в условиях многокритериальности.

1. Состояние проблемы проектирования САПР СВД

Широкий класс объектов управления, таких как роботы–манипуляторы, станки с числовым программным управлением, динамические испытательные стенды (тренажёры), графопостроители, штабелёры и др. можно отнести к новому классу автоматических систем – к системам воспроизведения движения (СВД).

СВД – это автоматическая цифровая система, обеспечивающая воспроизведение многокоординатного согласованного движения одного или нескольких исполнительных (рабочих) органов по заданной плоской или пространственной траектории с требуемыми динамическими показателями (траекторными скоростями и ускорениями), а также управление технологическим оборудованием объекта [1]. Типичная конструктивная схема СВД состоит из объекта управления (ОУ) с одним или несколькими рабочими органами, имеющими определённые кинематические связи друг с другом, электроприводов, приводящих в движение исполнительные органы, и устройства управления, обеспечивающего исполнительные и рабочие органы управляющей информацией для воспроизведения ими заданных траекторий для организации технологического процесса.

Несмотря на широкое распространение этого класса систем в самых различных отраслях промышленности, комплексные исследования по методологии их автоматизированного проектирования не проводились. Традиционный процесс проектирования исключает возможность комплексного исследования СВД и оптимизации её характеристик на ранних этапах проектирования.

Такое положение сложилось в связи с отсутствием методологической основы автоматизации проектирования подобных систем. Большинство опубликованных работ по этой теме посвящены частным вопросам автоматизации проектирования – анализу и синтезу аналоговых, дискретных, цифро–аналоговых систем управления СВД с применением ЭВМ; автоматизации чертёжно–графических работ на основе известных систем AUTOCAD, КОМПАС и др.

2. Иерархия математических моделей СВД

Системный анализ объектов СВД, базирующийся на декомпозиции их структуры и на исследованиях функциональных связей между составляющими компонентами, позволил исходную задачу проектирования свести к совокупности более простых задач, формализация которых приводит к иерархии операционных моделей проектных решений, составляющих методологическую основу сквозного цикла автоматизированного проектирования.

Независимо от степени детализации проектных решений каждый уровень иерархии операционных моделей представлен в виде совокупности математических моделей, которые позволяют исходную задачу проектирования свести к совокупности задач нелинейного математического программирования, представленных в виде:

(2.1)

где – показатель МА (машинного агрегата) (критерий

оптимальности для оценки проектного решения);

– вектор m–искомых (управляемых) параметров МА;

– вектор r–постоянных (заданных) параметров;

F – оператор критерия оптимальности ;

f_i –совокупность операторов (і–количество технических ограничений), формирующих область допустимых проектных решений.

Показатели машинных агрегатов представляют собой формализованные выражения целей проектирования, которые характеризуют последствия принятия различных альтернатив проектного решения через количественную оценку величины различного вида функций и функционалов от значений постоянных и управляемых параметров.

Технические ограничения на каждом уровне детализации проектных решений представлены в виде системы равенств и неравенств, которые задают допустимую область поиска эффективных значений целевых функций проектирования. В систему ограничений входят выражения, определяющие интервалы изменения варьируемых параметров, условия прочности элементов конструкции, предельные скорости и ускорения движения исполнительных механизмов и другие формализованные условия работоспособности проектируемого объекта.

Некоторые из этих ограничений вытекают непосредственно из требований технического задания и базовой нормативно–технической документации, однако более полное представление о допустимой области проектных решений может быть получено только на основе анализа моделей функционирования рассматриваемых объектов.

В связи с этим система технических ограничений на верхнем уровне включает модели функционирования проектируемых объектов, предназначенные для проверки эффективности принятых конструктивных решений с учётом динамических характеристик процесса.

Математические модели верхнего уровня иерархии используются на начальном этапе автоматизированного проектирования для поиска наилучших показателей объекта проектирования при заданной принципиальной схеме конструкции агрегата. Они позволяют установить оптимальные параметры переменной части конструкции и выявить наиболее рациональные законы управления приводами исполнительных механизмов объекта проектирования.

С этой целью модели функционирования машинных агрегатов на верхнем уровне иерархии представлены в виде системы дифференциальных уравнений, которую в векторной форме можно представить как

, (2.2)

где q – вектор состояний МА в фазовом пространстве координат;

u– вектор задающих воздействий;

x– вектор варьируемых параметров конструкции;

p– вектор постоянных параметров конструкции.

Допустимые значения варьируемых параметров модели принадлежат множествам в допустимом пространстве состояний объекта .

Модели сложных компонентов конструктивно–элементной базы и локальных регуляторов объединены во второй уровень иерархии математических моделей. В зависимости от конструктивных особенностей проектируемых объектов к ним относятся: электроприводы постоянного и переменного тока, многоступенчатые цилиндрические и конические зубчатые редукторы, червячные, волновые, реечные и ременные передачи, регуляторы САУ.

Модели локальных регуляторов САУ предназначены для синтеза структурно – устойчивых (грубых) устройств управления механизмами по осям X, Y, Z . Они разработаны как модели стабилизации программного движения по каждой из осей координат, причём в качестве эталонных рассматриваются траектории, сформированные на основе анализа обобщённой модели управления штабелёром на предыдущем этапе проектирования (модель верхнего уровня иерархии).

Модели движения механизмов штабелёра в фазовой плоскости по каждой из обобщённых координат могут быть представлены в виде:

, (2.3)

где u – задающее воздействие;

q₁ – перемещение механизма штабелёра;

q₂ – скорость движения;

a,b,c – конструктивные параметры .

Cинтез регулятора состоит в поиске оптимальных параметров такого устройства управления, которое обеспечивает перемещение механизма штабелёра из начальной точки в конечную q₁(0)→ q₁(T), причём q₂(0)= q₂(T)=0 и движение осуществляется вдоль эталонной траектории q_эт(t) c наименьшей погрешностью │q₂- q_эт│= δ→0.

Задача оптимизации заключается в том, чтобы найти такой закон управления u(t), который доставил бы минимум функционалу

. (2.4)

При этом на величину u налагается ограничение .

Задача (2.3)–(2.4) рассмотрена во многих работах, и, в частности, в работе [13]. Применение принципа максимума к этой задаче даёт следующий закон оптимального управления: u^*=asignψ₂.

На нижнем уровне используются математические модели типовых элементов передач (зубчатые колёса, валы, оси, канаты, барабаны) и системы управления (датчики скоростей, преобразователи, усилители), для программной реализации которых широко использовались тиражируемые программные средства.

При помощи математических моделей всех трёх уровней иерархии формируется оптимальная конструктивно–элементная база штабелёра и системы управления, используемая подсистемами отображения типовых компоновок, автоматизации чертёжно–графических работ и документирования текстовой конструкторской документации. Модели всех трёх уровней иерархии представлены на рис.1.

3. Анализ математических моделей СВД и обоснование применяемых методов оптимизации

Выполненная формализованная постановка задачи проектирования исследуемых объектов в САПР требует обоснования применяемых методов оптимизации на основе анализа разработанных математических моделей машинных агрегатов СВД.

Задачи оптимизации проектных решений на концептуальном уровне, связанные с внешней фазой проектирования, в САПР СВД не автоматизированы, так как они сложно формализуемы.

Это обстоятельство приводит к тому, что выбор облика будущей конструкции машинного агрегата и его принципиальной схемы осуществляются в САПР эвристической процедурой проектировщика на основе его опыта, знаний и интуиции.

Иерархия математических моделей, предназначенная для оптимизации проектных решений на этапах внутренней фазы конструкторского проектирования, характеризуются следующими свойствами составляющих компонент :

– высокой размерностью n–мерного пространства искомых параметров, часть из которых является нестационарными величинами (управляющие воздействия, фазовые координаты),

– нелинейностью и недифференцируемостью некоторых из ограничений, большая часть которых представлена аналитическими и дифференциальными уравнениями, а также выражениями в виде равенств и неравенств;

– многоэкстремальностью целевых функций проектирования, некоторые из которых являются векторными величинами.

Кроме перечисленных инвариантных свойств разработанных математических моделей, каждая из них имеет ряд особенностей, связанных с характером исходной проектной задачи и спецификой функциональной структуры проектируемого объекта.

Многоэкстремальный и непрерывный характер скалярных целевых функций составляющих компонентов проектируемых машинных агрегатов исключает необходимость рассмотрения методов оптимизации, применяемых в некоторых видах задач нелинейного программирования: выпуклого, сепарабельного, квадратичного, геометрического.

Недифференцируемость целевых функций и ограничений не позволяют использовать для оптимизации проектируемых объектов СВД многочисленные методы направленного поиска, для реализации которых необходима информация либо о градиенте целевой функции, либо дополнительные условия, выражаемые через операторы дифференцирования. К этим методам относятся следующие: наискорейшего спуска, градиентный, Ньютона, сопряженных градиентов, переменной метрики, Гаусса–Зейделя, Розенброка, штрафных функций, скользящего допуска, градиентный проективный, Лагранжа – Мида, ветвей и границ [4,5,6,7].Дополнительные сложности поиска глобального экстремума целевой функции возникают в связи с наличием в составе ограничений дифференциальных уравнений, которые достаточно простыми алгебраическими преобразованиями сводятся к задаче Коши.

Несмотря на то, что для её решения разработаны известные методы численного интегрирования ( Рунге –Кутта, Адамса – Бэтфорда, Адамса –Мултона [5,6]) и поиска эффективных управлений ( вариационного исчисления, неопределённых множителей Лагранжа, Понтрягина, динамического программирования, магистральной оптимизации [10,11,12,13]), все они применялись ранее в задачах с фиксированными коэффициентами при фазовых координатах. В рассматриваемом случае искомыми параметрами являются как фазовые координаты, так и параметры конструкции исследуемых объектов, являющиеся коэффициентами моделей функционирования.

Учитывая результаты проведенного анализа математических моделей СВД, для поиска эффективных управлений, конструктивных коэффициентов и фазовых координат проектируемых объектов, на наш взгляд остаются методы, имеющие статистический характер. С целью унификации применяемых алгоритмов поиска эффективных проектных решений в САПР СВД нами использован и модифицирован комплекс программ, реализующий метод исследования пространства параметров [2]. Основным преимуществом метода [2] является возможность его использования для оптимизации многокритериальных многопараметрических систем при отсутствии априорной информации об имеющихся или предпочтительных связях между компонентами векторной целевой функции.

Допустимую область поиска эффективных проектных решений определяет система параметрических, функциональных и критериальных ограничений :

, (3.1 )

где x_k^* , x_k^** – минимальное и максимальное значение k–го варьируемого параметра (x_k);

n – число варьируемых параметров ;

e_i^*, e_i^** – предельные значения ( нижняя и верхняя граница i-го ограничения );

ν – число функциональных ограничений ;

y_j^*,y_j^**– наихудшее допустимое значение j–го частного критерия ;

m – число частных критериев.

α =х₁,х₂,…,х_n.

Задача оптимизации сводится к нахождению в допустимой области точки α ⁰, такой, что Y(α ⁰) = min y (α), ,

где D – область допустимых решений, задаваемая в пространстве параметров системой ограничений (3.1).

Итерационный процесс, состоящий в чередовании человеко–машинных процедур, приводит к получению в исследуемом пространстве параметров вектора неулучшаемых точек, которые характеризуют парето – оптимальные проектные решения исследуемых объектов.

В результате проведенных нами экспериментов с математическими моделями машинных агрегатов в СВД установлено, что таких точек может быть несколько (в отдельных экспериментах с моделями верхнего уровня штабелёра – от восьми до двенадцати). В связи с этим для формализации процедуры выбора существенно более узкого подмножества альтернативных вариантов из множества оптимальных решений разработаны программы, реализующие алгоритмы специального способа сравнения паретовских моделей.

В основу этого способа положен принцип сравнения векторных оценок по паретовским бинарным отношениям [3]: из двух векторных оценок критериев предпочтительной считается та, которая превосходит по отношению Парето большее число остальных векторных оценок и одновременно уступает не большему их числу, чем другая. При этом из множества решений Q выделяется паретовское Q_p. Для сравнения неулучшаемых решений строится матрица паретовских отношений p векторных оценок критериев по следующему правилу :

a_{i j}= (3.2)

где a_{i j} – матрица размерности N×N;

–векторные оценки критериев в точках i и j соответственно.

Наилучшей векторной оценкой считается та, для которой сумма элементов строки матрицы а_ij (3.2) максимальна.

Программный комплекс, реализующий рассмотренную методику проектирования объектов СВД, проходит в настоящее время опытную эксплуатацию.

Общая модель штабелёра

.

1. Постоянные параметры:.

2. Управляемые параметры:

3. Ограничения :

3.1.Параметрические: .

3.2.Функциональные:

3.3.Критериальные:.

4.Критерии (целевые функции):

П а р а м е т р ы с в я з и с ч а с т н ы м и м о д е л я м и

Модели САР координат Модели Модели

электродвигателей редукторов

<ДВ>=F(P_ном,ω_ном,М_ном)

Р_номР_тр; ω_номω_max

Ф₁=(ЛАЧХ-ЖЛАЧХ) Ф₂=(Р_ном-Р_тр) Ф₃=F(a_n,a_t,V,G,H_R,J,μ₁, μ₂)

Рис.1 Иерархия математических моделей штабелёров АТСС

Литература

1. В.Г. Каган и др. Цифровые электромеханические системы. – М.: Энергоатомиздат,1985. – 208с., ил.

2. Соболь И.М., Статников Р.В. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями.–М.: Наука, 1981.–106с.,ил.

3. Гринкевич В.К.,Фейгин Г.Л. Об одном способе сравнения паретовских моделей.// Вестник машиностроения. –1986.–№ 10.

4. Петренко А.И., Семенков О.И. Основы построения систем автоматизированного проектирования.–К.: Вища школа. Головное изд.–во. 1984.–296 с.

5. Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования.–М.: Радио и связь, 1984.–248с.

6. Карманов В.Г. Математическое программирование.–М.:Наука,1986.288с.

7. Норенков И.П.,Маничев В.Б.Системы автоматизированного проектирования электронной и вычислительной аппаратуры.–М.: Высш. шк.:1983,–272с.

8. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. для вузов. 2-е изд. перераб. и доп.- М.:Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002.336 с.

9. Егоров. Н.В. Цифровое моделирование систем электропривода.–Л.: Энергоатомиздат, 1986.–168с.

10. Анхимюк В.Л.,Опейко О.Ф. Проектирование систем автоматического управления электроприводами.Мн: Высш. шк.,1986.–143с,ил.

11. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов.М.: Наука,1983.–392с.

12. Попов Е.П. Автоматическое регулирование и управление.–М.: Наука, 1966.–388с.

13.Смехов А.А., Ерофеев Н.И. Оптимальное управление подъёмно–транспортными машинами.–М.: Машиностроение, 1974.–239с.

14. Мишустин В.А, Придухо В.Т. Математические модели машинных агрегатов автоматизированных транспортно-складских систем. – Минск, 1987. 42 с. ( Препринт /Ин-т техн. Кибернетики Ан БССР; №40).